Question

19．已知過點F（0，1），且斜率為k的直線l與拋物線E：x²=4y相交于A，B兩點，與圓F：x²+（y-1）²=1相交于C，D兩點，其中，點A，C在第一象限．
（1）求|AC|×|BD|的值；
（2）過點C作圓F的切線l，當$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，求直線l₁在y軸上的截距的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由已知可知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線方程消去y，結(jié)合拋物線的定義，即可得出結(jié)論．
（2）求出過點C作圓F的切線l的方程，令x=0可得y，利用$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，求直線l₁在y軸上的截距的取值范圍．

解答 解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由已知可知，直線l方程為y=kx+1，代入拋物線方程消去y，得x²-4kx-4=0，
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-4，
∴y₁y₂=kx₁x₂+（x₁+x₂）+1=1
則|AC|×|BD|=（y₁+1-1）（y₂+1-1）=y₁y₂=1；
（2）y=kx+1代入圓F：x²+（y-1）²=1可得C（$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$，k$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$+1），
∴過點C作圓F的切線l的方程為y-k$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$-1=-$\frac{1}{k}$（x-$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$），
令x=0，可得y=（k+$\frac{1}{k}$）$\sqrt{\frac{1}{1+{k}^{2}}}$+1=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}$+1，
∵$\frac{\sqrt{2}}{4}$≤k≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴3≤$\frac{1}{{k}^{2}}$≤8
∴3≤y≤4．

點評 拋物線的定義，可以將拋物線上的點到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準線的距離．