Question

16．已知數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，滿足a_n+1²-2a_n+1=a_n²+2a_n，a₁=2，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）令b_n=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}{a}_{n}^{2}}$，數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n，證明：對于任意的n∈N^*，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

Answer 1

分析 （1）a_n+1²-2a_n+1=a_n²+2a_n，a₁=2，化為（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，由于數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，可得：a_n+1-a_n=2，利用等差數(shù)列的通項公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$），再利用“裂項求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a_n+1²-2a_n+1=a_n²+2a_n，a₁=2，
∴（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0，
∵數(shù)列{a_n}各項均為正數(shù)，∴a_n+1-a_n-2=0，
即a_n+1-a_n=2，
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項為2．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
（2）證明：b_n=$\frac{n+1}{（n+2）^{2}{a}_{n}^{2}}$=$\frac{n+1}{4{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}$），
∴數(shù)列{b_n}的前n項和為T_n=$\frac{1}{16}$$[（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）]$
=$\frac{5}{64}$-$\frac{1}{16}$（$\frac{1}{（n+1）^{2}}$+$\frac{1}{（n+2）^{2}}$）$＜\frac{5}{64}$．
∴對于任意的n∈N^*，都有T_n＜$\frac{5}{64}$．

點評 本題考查了等差數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系、“裂項求和”方法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．