8.已知等比數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列,a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中項(xiàng).
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)若bn=anlog2an,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,求Sn

分析 (1)由2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,求得a3=8,a2+a4=20,根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式,即可求a1=2,q=2,求得數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)由bn=anlog2an=n•2n,采用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn

解答 解:設(shè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1,公比為q,q>0,
依題意可得:2(a3+2)=a2+a4,代入a2+a3+a4=28,
解得:a3=8,a2+a4=20,
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}{q}^{2}=8}\\{{a}_{1}q+{a}_{1}{q}^{3}=20}\end{array}\right.$,
解得:$\left\{\begin{array}{l}{q=2}\\{{a}_{1}=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=32}\\{q=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$,
∵數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的數(shù)列,
∴a1=2,q=2,
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=2n;
(2)∵bn=anlog2an=n•2n
∴Sn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n,①
2Sn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1,②
①-②,得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1,
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$-n•2n+1
=2n+1-n•2n+1-2,
=(1-n)•2n+1-2,
∴Sn=(n-1)•2n+1+2.

點(diǎn)評(píng) 本題考查等比數(shù)列性質(zhì),考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式,考查“錯(cuò)位相減法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,考查計(jì)算能力,屬于中檔題.

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