Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+4x，a＞0．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）若x∈（-2，+∞）時(shí)，恒有f（2x）≥7x+a²-3，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，分類討論求不等式f（x）≥2x+1的解集；
（Ⅱ）（2x）≥7x+a²-3可化為f（2x）-7x≥a²-3，求出左邊的最小值，即可求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（I）f（x）≥2x+1，即|x-2|≥-2x+1，
即$\left\{\begin{array}{l}x-2≥-2x+1\\ x-2≥0\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}2-x≥-2x+1\\ x-2＜0\end{array}\right.$，解得{x|x≥-1}．
（II）f（2x）≥7x+a²-3可化為f（2x）-7x≥a²-3，
令F（x）=f（2x）-7x，
因?yàn)?F（x）=f（2x）-7x=|{2x-a}|+x=\left\{\begin{array}{l}3x-a（x≥\frac{a}{2}）\\ a-x（x＜\frac{a}{2}）\end{array}\right.$，
由于a＞0，x∈（-2，+∞），
所以當(dāng)$x=\frac{a}{2}$時(shí)，F(xiàn)（x）有最小值$F（\frac{a}{2}）=\frac{a}{2}$，
若使原命題成立，只需$\frac{a}{2}≥{a^2}-3$，解得a∈（0，2]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查解含有絕對(duì)值的不等式，函數(shù)的最值．考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．