Question

若函數(shù)f(x)=

1

3

x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間，則a取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：對函數(shù)f（x）求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號來討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性，需要討論a的取值，找到使原函數(shù)有三個單調(diào)區(qū)間的a．

解答： 解：f′（x）=x²+a；
若a≥0，則f′（x）≥0，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，只一個單調(diào)區(qū)間，不合題意；
若a＜0，則解x²+a=0得：x=±

-a

，x∈（-∞，-

-a

）時，f′（x）＞0，（-∞，-

-a

）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
x∈（-

-a

，

-a

）時，f′（x）＜0，（-

-a

，

-a

）是f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間；
x∈（

-a

，+∞）時，f′（x）＞0，（

-a

，+∞）是f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
所以a＜0時f（x）有三個單調(diào)區(qū)間，所以a的取值范圍是（-∞，0）．

點評：考查利用求導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，注意理解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．