Question

17．已知函數(shù)f（x）=mx+2，g（x）=x²+2x+m，若存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）-g（x）≤b的解集恰好是[a，b]，則a-b的值為．-2．

Answer 1

分析 假設存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]．則G（a）=a，G（b）=a，a≤G（ $\frac{m-2}{2}$）≤b，由G（a）=G（b）=a，解出整數(shù)a，b，再代入不等式檢驗即可．

解答 解：設G（x）=f（x）-g（x）-1=-x²+（m-2）x+2-m．
則由題意可得a≤-x²+（m-2）x+2-m≤b
假設存在整數(shù)a，b，使得a≤G（x）≤b的解集恰好是[a，b]，
則G（a）=a，G（b）=a，∴a≤G（ $\frac{m-2}{2}$）≤b，且a＜b．
即有-a²+（m-2）a+2-m=a①，-b²+（m-2）b+2-m=a②，a≤$\frac{{m}^{2}-8m+12}{4}$≤b ③．
①-②可得a+b=m-2，代入①得-a²+a（a+b）-（a+b）=a，
再化簡得（a-1）（b-2）=2，因為a、b均為整數(shù)，所以a=2，b=4或a=-1，b=1．
當a=2，b=4時，③即2≤$\frac{{m}^{2}-8m+12}{4}$≤4成立；當a=-1，b=1時，③即-1≤$\frac{{2}^{2}-8×2+12}{4}$≤1成立．
故存在整數(shù)a，b，使得a≤f（x）≤b的解集恰好是[a，b]，且a=2，b=4；或a=-1，b=1，
故a-b=-2，
故答案為：-2．

點評 本題考查二次函數(shù)的單調(diào)性及運用，以及含絕對值的二次函數(shù)的單調(diào)性，考查分類討論的思想方法，以及不等式的解法，考查運算能力，屬于中檔題．