Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），x₁≠x₂，$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞a，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 將不等式進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得到結(jié)論．

解答 解：不妨設(shè)x₁＞x₂，則不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞a等價為f（x₁）-f（x₂）＞ax₁-ax₂，
即f（x₁）-ax₁＞f（x₂）-ax₂，
設(shè)g（x）=f（x）-ax，
則不等式等價為g（x₁）＞g（x₂），
即函數(shù)g（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵f（x）=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x，
∴g（x）=f（x）-x=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-1）x-x=$\frac{1}{2}$x²-alnx+（a-2）x，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)g′（x）=x-$\frac{a}{x}$+a-2=$\frac{{x}^{2}+（a-2）x-a}{x}$≥0恒成立，
即h（x）=x²+（a-2）x-a＞0，則（0，+∞）上恒成立，
則△=（a-2）²+4a=a²+4＞0，
則此時滿足$\left\{\begin{array}{l}{h（0）=-a≥0}\\{-\frac{a-2}{2}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{a≤2}\end{array}\right.$，解得a≤0，
故a的取值范圍是（-∞，0]．

點評 本題主要考查函數(shù)單調(diào)性的判斷和應(yīng)用，將不等式進行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，有一定的難度．