Question

7．橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點為F，過點F的直線l交橢圓于A，B兩點，P為線段AB的中點，當△PFO的面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 設橢圓的左焦點F（-c，0）．由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可．設直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關系，再利用中點坐標公式可得y_P，利用S_△PFO=$\frac{1}{2}$c|y_P|和基本不等式即可得出．

解答 解：設橢圓的左焦點F（-c，0），
由題意只考慮直線l的斜率存在且不為0即可，
設直線l的方程為my=x+c，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my=x+c}\\{^{2}{x}^{2}+{a}^{2}{y}^{2}={a}^{2}^{2}}\end{array}\right.$，
化為（b²m2+a²）y²-2b²mcy+b²c²-a²b²=0，
∴y₁+y₂=$\frac{2^{2}mc}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴y_P=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{2}$=$\frac{^{2}mc}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$，
∴S_△PFO=$\frac{1}{2}$c|y_P|=$\frac{1}{2}$$•\frac{^{2}{c}^{2}|m|}{^{2}{m}^{2}+{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$b²c²•$\frac{1}{^{2}|m|+\frac{{a}^{2}}{|m|}}$
≤$\frac{1}{2}$b²c²•$\frac{1}{2\sqrt{^{2}{a}^{2}}}$=$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
當且僅當|m|=$\frac{a}$時取等號．此時△PFO的最大值為$\frac{b{c}^{2}}{4a}$，
即有直線l的方程為x+$\frac{a}$y+$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=0或x-$\frac{a}$y+$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=0．

點評 本題考查了直線與橢圓相交問題、根與系數(shù)的關系、三角形的面積最大值問題、基本不等式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．