Question

18．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它過點（0，1），離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）過橢圓C的左焦點F作直線l交橢圓C于G，H兩點，交y軸于點M，若$\overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{FG}$，$\overrightarrow{MH}$=n$\overrightarrow{FH}$，判斷m+n是否為定值，若為定值，請求出該定值，若不是請說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓過點（0，1），離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，列出方程組求出a=$\sqrt{5}$，b=1，c=2，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）求出橢圓C的右焦點F（2，0），設直線l的方程為y=k（x+2），代入方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0，由此利用韋達定理、向量，結合已知條件能求出m+n的值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的中心在坐標原點，焦點在x軸上，它過點（0，1），離心率為$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{\frac{c}{a}=\frac{2\sqrt{5}}{5}}\\{{a}^{2}=^{2}+{c}^{2}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{5}$，b=1，c=2，
∴橢圓C的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1．
（2）由（1）得橢圓C的右焦點F（2，0），
設G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），M（0，y₀），
由題意得直線l的斜率存在，設直線l的方程為y=k（x+2），代入方程$\frac{{x}^{2}}{5}$+y²=1，
得（1+5k²）x²+20k²x+20k²-5=0．
∴x₁+x₂=-$\frac{20{k}^{2}}{1+5{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{20{k}^{2}-5}{1+5{k}^{2}}$．
又$\overrightarrow{MG}$=（x₁，y₁-y₀），$\overrightarrow{MH}$=（x₂，y₂-y₀），$\overrightarrow{FG}$=（x₁-2，y₁），$\overrightarrow{FH}$=（x₂-2，y₂）．
$\overrightarrow{MG}=m\overrightarrow{FG}$$\overrightarrow{MH}=n\overrightarrow{FH}$，
∴m=$\frac{x_1}{{{x_1}+2}}$，n=$\frac{x_2}{{{x_2}+2}}$，
∴m+n=$\frac{x_1}{{{x_1}+2}}$+$\frac{x_2}{{{x_2}+2}}$=$\frac{{2{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}+2（{x_1}+{x_2}）+4}}=\frac{{2（\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}）+\frac{{2（-20{k^2}）}}{{1+5{k^2}}}}}{{\frac{{20{k^2}-5}}{{1+5{k^2}}}+\frac{{2（-20{k^2}）}}{{1+5{k^2}}}+4}}$，
=$\frac{{2（20{k^2}-5）+2（-20{k^2}）}}{{（20{k^2}-5）+2（-20{k^2}）+4（1+5{k^2}）}}=10$，
∴m+n=10．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查m+n是否為定值的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意韋達定理、向量、橢圓性質(zhì)的合理運用．