Question

8．若函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個零點，則實數(shù)m的取值范圍是[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

Answer 1

分析 ①當m≤0時，f（x）＞0恒成立，②當m＞0時，由6^x-m=0討論，再由x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m）討論，從而確定方程的根的個數(shù)．

解答 解：①當m≤0時，f（x）＞0恒成立，
故函數(shù)f（x）沒有零點；
②當m＞0時，6^x-m=0，
解得，x=log₆m，
又∵x＜1；
∴當m∈（0，6）時，log₆m＜1，
故6^x-m=0有解x=log₆m；
當m∈[6，+∞）時，log₆m≥1，
故6^x-m=0在（-∞，1）上無解；
∵x²-3mx+2m²=（x-m）（x-2m），
∴當m∈（0，$\frac{1}{2}$）時，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上無解；
當m∈[$\frac{1}{2}$，1）時，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且僅有一個解；
當m∈[1，+∞）時，
方程x²-3mx+2m²=0在[1，+∞）上有且僅有兩個解；
綜上所述，
當m∈[$\frac{1}{2}$，1）或m∈[6，+∞）時，
函數(shù)f（x）=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{6^x}-m，\begin{array}{l}{x＜1}\end{array}\\{x^2}-3mx+2{m^2}，x≥1\end{array}$恰有2個零點，
故答案為：[$\frac{1}{2}$，1）∪[6，+∞）．

點評 本題考查了分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用及分類討論的思想應(yīng)用．