Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=n-a_n-7，n∈N^*
（1）證明：{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列{S_n}的通項公式，并求出n為何值時，S_n取得最小值，并說明理由．

Answer 1

考點：等比關(guān)系的確定,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)當(dāng)“n≥2時，a_n=S_n-S_n-1和n=1時，a₁=S₁”，求出2a_n=a_n-1+1，變形得a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），由等比數(shù)列的定義得{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）和等比數(shù)列的通項公式得：a_n-1=-4×(

1

2

)n-1，再求出a_n，代入S_n=n-a_n-7化簡，建立數(shù)列的相鄰兩項的不等式求解，再研究其單調(diào)性即可得出S_n取得最小值及對應(yīng)的n的值．

解答： 解：（1）由題意得，S_n=n-a_n-7，
令n=1，得a₁=-3，
當(dāng)n≥2時，a_n=S_n-S_n-1
=（n-a_n-7）-（n-1-a_n-1-7）=-a_n+a_n-1+1，
則2a_n=a_n-1+1，所以a_n-1=

1

2

（a_n-1-1），
又a₁-1=-4≠0，
所以{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）由（1）得，a_n-1=-4×(

1

2

)n-1，則a_n=1-4×(

1

2

)n-1，
從而S_n=n-a_n-7=n+4×(

1

2

)n-1-8，n∈N^*
由S_n＜S_n+1得，(

1

2

)n＜

1

4

，解得n＞2，
當(dāng)n≥3時，數(shù)列{S_n}單調(diào)遞增，即S₃＜S₄＜S₅＜S₆＜…，
同理可得，當(dāng)n≤2時，數(shù)列{S_n}單調(diào)遞減，即S₂＜S₁，
故當(dāng)n=2或3時，S_n取得最小值-4．

點評：本題考查等比關(guān)系的確定，由a_n與S_n的關(guān)系式的應(yīng)用，解注意對數(shù)列的函數(shù)的特性的研究方法：即研究相鄰兩項大小再確定其單調(diào)性，從而求了最值，難度較大．