Question

已知f（log_ax）=

a

a2-1

（x-

1

x

）（a＞0，且a≠1）
（1）求f（x）；
（2）判斷并證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）若對任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

考點：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）利用換元法，即可求f（x）的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義即可證明f（x）的奇偶性與單調(diào)性；
（3）根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的性質(zhì)將不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＞0進行轉(zhuǎn)化，求k的取值范圍．

解答： 解：（1）令t=log_ax（t∈R）
則x=at，f(t)=

a

a2-1

(at-a-t)，
∴f(x)=

a

a2-1

(ax-a-x)（x∈R），
（2）∵x∈R，f(-x)=

a

a2-1

(a-x-ax)=-

a

a2 -1

(ax-a-x)=-f(x)，
∴函數(shù)f（x）為奇函數(shù)．    
設(shè)x₁＜x₂，
若a＞1，f（x₂）-f（x₁）=

a

a2-1

[ax2-a-x2-ax1+a-x1]=

a

a2-1

[（ax2-ax1）（1+

1

ax1ax2

）]，
∵a＞1，x₁＜x₂，∴ax1＜ax2，ax2-ax1＞0，ax1ax2＞0，

a

a2-1

＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）
類似可證明當(dāng)0＜a＜1時，f（x₂）＞f（x₁），
綜上，無論a＞1或0＜a＜1，f（x）在R上都是增函數(shù)． 
（3）不等式化為f（t²-2t）＞-f（2t²-k），
即f（t²-2t）＞f（k-2t²）
∵f（x）在R上都是增函數(shù)，
∴t²-2t＞k-2t²對t∈R恒成立
即3t²-2t-k＞0對t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，k＜-

1

3

故k的取值范圍(-∞，-

1

3

)．

點評：本題主要考查函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷以及不等式恒成立的證明，根據(jù)函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的定義是解決本題的關(guān)鍵．