Question

在△ABC中，a，b，分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC．
（1）求A的大��；  
（2）若a=4，求b+c的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理,正弦定理

專題：解三角形

分析：（1）已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理得到關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosA，將得出關(guān)系式代入求出cosA的值，即可確定出A的度數(shù)；
（2）利用余弦定理列出關(guān)系式，將a，cosA的值代入，并利用基本不等式求出b+c的最大值即可．

解答： 解：（1）將2asinA=（2b+c）sinB+（2c+b）sinC，
利用正弦定理化簡(jiǎn)得：2a²=2（b+c）b+（2c+b）c，
整理得：b²+c²-a²=-bc，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
則A=120°；
（2）∵a=4，cosA=-

1

2

，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即16=b²+c²+bc，
∴（b+c）²-16=bc≤（

b+c

2

）²，
∴b+c≤

8 3

3

，當(dāng)且僅當(dāng)b=c時(shí)，等號(hào)成立，
則b+c的最大值為

8 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了正弦、余弦定理，基本不等式的運(yùn)用，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．