Question

已知函數(shù)f（x）=x+

1

x

，
（1）判斷f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調性，并用定義證明；
（2）當x∈（-∞，0）時，寫出函數(shù)f（x）=x+

1

x

的單調區(qū)間（不必證明）．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,函數(shù)的單調性及單調區(qū)間

專題：導數(shù)的概念及應用

分析：（1）用定義證明函數(shù)的單調性，先設給定區(qū)間內任意兩個自變量x₁，x₂，設出x₁，x₂的大小關系，再計算f（ x₁）-f（ x₂），作差后，把差化簡為幾個因式的乘積的形式，比較每個因式與0的大小，就可得到f（ x₁）與f（ x₂）的大小關系，進而根據函數(shù)單調性的定義判斷函數(shù)的單調性．
（2）利用導數(shù)求出函數(shù)的單調區(qū)間即可．

解答： 解：（1）f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減，
設x₁，x₂∈（1，+∞），且設x₁＜x₂，
則f（x₁）-f（x₂）=x₁+

1

x1

-x₂-

1

x2

=

(x1-x2)(x1x2-1)

x1x2

，
∵x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁•x₂＞1，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（1，+∞）上的單調遞減．
（2）∵f（x）=x+

1

x

，
∴f′（x）=1-

1

x2

=

x2-1

x2

，
令f′（x）=0，
解得x=1或x=-1，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上單調遞增，在（-1，0）上單調遞減

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調性的定義證明和利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間，屬于基礎題．