Question

12．設(shè)△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，面積為S，內(nèi)切圓半徑為r，則r=$\frac{2S}{a+b+c}$；設(shè)四面體S-ABC的四個(gè)面的面積分別為S_i（i=1，2，3，4），內(nèi)切球的半徑為r，體積為V，請(qǐng)類比三角形的上述結(jié)論，寫(xiě)出四面體中的結(jié)論r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)平面與空間之間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線 類比 直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形面積類比立體圖形的體積，結(jié)合求三角形的面積的方法類比求四面體的體積即可

解答 解：設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，
則球心O到四個(gè)面的距離都是R，
所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，
分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和．
則四面體的體積為V=$\frac{1}{3}$（S₁+S₂+S₃+S₄）r
∴r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．
故答案為：r=$\frac{3V}{{S}_{1}+{S}_{2}+{S}_{3}+{S}_{4}}$．

點(diǎn)評(píng) 類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)類比遷移到另一類數(shù)學(xué)對(duì)象上去．一般步驟：①找出兩類事物之間的相似性或者一致性．②用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題（或猜想）．