Question

3．與圓O：x²+y²=2外切于點(diǎn)A（-1，-1），且半徑2$\sqrt{2}$的圓的方程為（x+3）²+（y+3）²=8；若圓C上恰有兩個(gè)點(diǎn)到直線x+y+m=0的距離為$\sqrt{2}$，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是m∈（0，4）∪（8，12）．

Answer 1

分析 （1）兩圓相切，則切點(diǎn)與兩圓的圓心三點(diǎn)共線，設(shè)出所求圓的圓心為C（a，b），列方程求得a，b即可；
（2）由題意可得圓心（-3，-3）到直線l：x+y+m=0的距離d滿足$\sqrt{2}$＜d＜3$\sqrt{2}$．根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求出d，再解絕對(duì)值不等式求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答 解：設(shè)所求圓的圓心為C（a，b），
∵切點(diǎn)A（-1，-1）與兩圓的圓心O、C三點(diǎn)共線，
∴$\frac{a}=\frac{b+1}{a+1}$，
又|AC|=2$\sqrt{2}$，
∴（x-a）²+（y-b）²=8
解得a=3，b=-3，
∴所求圓的方程為（x+3）²+（y+3）²=8；
由題意可得圓心（-3，-3）到直線l：x+y+m=0的距離d滿足$\sqrt{2}$＜d＜3$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$＜$\frac{|-6+m|}{\sqrt{2}}$＜3$\sqrt{2}$，
∴m∈（0，4）∪（8，12）．
故答案為：（x+3）²+（y+3）²=8，m∈（0，4）∪（8，12）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查圓的方程，考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式，絕對(duì)值不等式的解法，屬于中檔題．