Question

15．已知函數(shù)y=x²+2（m+3）x+2m+4．
（1）求證：該函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）該函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x₁，x₂，當實數(shù)m為何值時，（x₁-1）²+（x₂-1）²有最小值，并求這個最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)根的判別式判斷即可；（2）求出函數(shù)的圖象與x軸交點的橫坐標分別為x₁，x₂，代入（x₁-1）²+（x₂-1）²=4（m+3）²+6，從而求出最小值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)y=x²+2（m+3）x+2m+4，
∴△=4（m+3）²-4（2m+4）=4[（m+2）²+1]＞0，
∴該函數(shù)的圖象與x軸有兩個交點；
（2）由（1）得：x=-（m+3）±$\sqrt{{m}^{2}+4m+5}$，
∴（x₁-1）²+（x₂-1）²
=${[（m+4）+\sqrt{{m}^{2}+4m+5}]}^{2}$+${[（m+4）-\sqrt{{m}^{2}+4m+5}]}^{2}$
=2m²+16m+32+2m²+8m+10
=4（m+3）²+6，
故m=-3時，有最小值，最小值是6．

點評 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，考查根的判別式問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，本題是一道中檔題．