Question

19．如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，點D、E分別為BC、B₁C₁的中點，且AB=AA₁=2．
（1）求證：A₁E⊥C₁D；
（2）求證：A₁E∥平面AC₁D；
（3）求直線AC₁與平面BCC₁B₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理證明A₁E⊥平面BCC₁B₁，即可．
（2）根據(jù)線面平行的判定定理證明A₁E∥AD即可，
（3）根據(jù)線面角的定義得到∠AC₁D就是AC₁與平面BB₁C₁C所成的角，解直角三角形即可．

解答 （1）證明：在如圖，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面A₁B₁C₁，A₁E?平面A₁B₁C₁，
∴CC₁⊥A₁E，
則在三角形A₁B₁C₁中，E為B₁C₁的中點，
則A₁E⊥B₁C₁，
∵CC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁E⊥平面BCC₁B₁，
∵C₁D?平面BCC₁B₁，
∴A₁E⊥C₁D；
（2）連接DE，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，四邊形BCC₁B₁是矩形，點D、E分別為BC、B₁C₁的中點，
∴BB₁∥DE，且BB₁=DE
∵BB₁∥AA₁，且BB₁=AA₁，
∴AA₁∥DE，且AA₁=DE，
即四邊形ADEA₁，為平行四邊形．
∴A₁E∥AD，
∵AD?平面AC₁D，AE?平面AC₁D，
∴A₁E∥平面AC₁D；
（3）∵AD∥A₁E，
∴A₁E⊥面BB₁C₁C，
∴AD⊥面BB₁C₁C，
∴∠AC₁D就是AC₁與平面BB₁C₁C所成的角，
在Rt△AC₁D中，∠ADC₁=90°，DC₁=$\sqrt{5}$，AC₁=2$\sqrt{2}$，
cos∠AC₁D=$\frac{D{C}_{1}}{A{C}_{1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$．
即所求角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{4}$．

點評 本題主要考查空間線面垂直和平行的判斷以及直線和平面所成角的大小的計算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及利用線面角的定義作出線面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．