Question

8．已知a＞0，設(shè)P：函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+ax在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增，Q：log₂（2a-a²+$\frac{1}{4}$）＞0，若命題P∧Q為假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 若P為真．由題意知f′（x）=x²+2ax+a≥0對任意實(shí)數(shù)恒成立，可得△≤0．若Q為真，根據(jù)題意知2a-a²+$\frac{1}{4}$＞1，化為4a²-8a+3＜0，解得a范圍．求出P∧Q為真命題時(shí)a的取值范圍，進(jìn)而得出P∧Q為假的命題．

解答 解：若P為真．由題意知f′（x）=x²+2ax+a≥0對任意實(shí)數(shù)恒成立，
∴△=4a²-4a≤0，解得0≤a≤1，由a＞0，∴0＜a≤1．
若Q為真，根據(jù)題意知2a-a²+$\frac{1}{4}$＞1，化為4a²-8a+3＜0，解得$\frac{1}{2}＜a＜\frac{3}{2}$．
若P∧Q為真命題，則$\frac{1}{2}＜a≤1$，
∵已知P∧Q為假，∴$0＜a≤\frac{1}{2}$或a＞1．
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是$0＜a≤\frac{1}{2}$或a＞1．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系、一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．