Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$（x∈R）．
（I）求函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間．
（II）設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=0，若向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）先將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）根據(jù)（1）得f（x）的解析式，求出C角，在根據(jù)平面向量共線的特征，建立角A，B的關系式，利用余弦定理即可求a，b的值．

解答 解：由f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}-\frac{1}{2}cos2x$-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x-1$
=sin$（2x-\frac{π}{6}）$-1，
根據(jù)正弦函數(shù)圖象及性質(zhì)可得：$2x-\frac{π}{6}∈$[2kπ-$\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]（k∈Z）是增區(qū)間．
即2kπ-$\frac{π}{2}$≤$2x-\frac{π}{6}$≤2kπ$+\frac{π}{2}$，解得：$-\frac{π}{6}+kπ$≤x≤$\frac{π}{3}+kπ$．
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[$-\frac{π}{6}+kπ$，$\frac{π}{3}+kπ$]]（k∈Z）．
（2）由（1可知）f（x）=sin$（2x-\frac{π}{6}）$-1
∴f（C）=sin$（2C-\frac{π}{6}）-1$
又f（C）=0，即sin$（2C-\frac{π}{6}）-1$=0．
解得：C=$\frac{π}{3}$．
由題意：向量$\overrightarrow{m}$=（1，sinA）與向量$\overrightarrow{n}$=（2，sinB）共線，
則有：sinB-2sinA=0
∴$\frac{1}{2}=\frac{sinA}{sinB}$
由正弦定理可得：b=2a…①
由余弦定理$cosC=\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$
可得：$\frac{1}{2}=\frac{{a}^{2}+^{2}-3}{2ab}$
化簡：a²+b²-ab=3…②
由①②解得：a=1，b=2．

點評 本題考查了三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，向量的共線問題和正、余弦定理的化簡以及計算能力．屬于中檔題．