Question

8．平行四邊形ABCD內接于橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，直線AB的斜率k₁=1，則直線AD的斜率k₂=（　�。�

• A． -2
• B． -$\frac{1}{2}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 設直線AB的方程為y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用橢圓與平行四邊形的對稱性可得：D（-x₂，-y₂）．直線方程與橢圓方程根據(jù)韋達定理求得解得x₁+x₂，可得直線AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，代入即可求得k₂．

解答 解：設直線AB的方程為y=x+t，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），利用橢圓與平行四邊形的對稱性可得：D（-x₂，-y₂）．
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=x+t}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：5x²+8tx+4t²-4=0，由△＞0，解得：0＜t²＜5，
由韋達定理可知：x₁+x₂=-$\frac{8t}{5}$，
∴可得直線AD的斜率k₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{{x}_{1}+{x}_{2}}$=1+$\frac{2t}{-\frac{8t}{5}}$=-$\frac{1}{4}$，
故答案選：C．

點評 本題考查了橢圓與平行四邊形的對稱性、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．