Question

16．拋物線y²=4x的焦點為F，過點（0，3）的直線與拋物線交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交x軸于點D，若|AF|+|BF|=6，則點D的橫坐標為4．

Answer 1

分析 設(shè)AB的中點為H，求出準線方程，設(shè)A，B，H在準線上的射影分別為A'，B'，H'，運用拋物線的定義可得H的橫坐標為2，設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線方程，運用韋達定理和判別式大于0，求得k的范圍，由中點坐標公式解得k=-2，再求直線AB的中垂線方程，令y=0，即可得到所求值．

解答 解：設(shè)AB的中點為H，
拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），準線為x=-1，
設(shè)A，B，H在準線上的射影分別為A'，B'，H'，
則|HH'|=$\frac{1}{2}$（|AA'|+|BB'|），
由拋物線的定義可得，
|AF|=|AA'|，|BF|=|BB'|，
|AF|+|BF|=6，即為|AA'|+|BB'|=6，
|HH'|=$\frac{1}{2}$×6=3，
即有H的橫坐標為2，
設(shè)直線AB：y=kx+3，
代入拋物線方程，可得k²x²+（6k-4）x+9=0，
即有判別式（6k-4）²-36k²＞0，解得k＜$\frac{1}{3}$且k≠0，
又x₁+x₂=$\frac{4-6k}{{k}^{2}}$=4，
解得k=-2或$\frac{1}{2}$（舍去），
則直線AB：y=-2x+3，
AB的中點為（2，-1），
AB的中垂線方程為y+1=$\frac{1}{2}$（x-2），
令y=0，解得x=4，
則D（4，0）．
故答案為：4．

點評 本題考查拋物線的定義、方程和性質(zhì)，主要考查拋物線的準線方程的運用，同時考查直線和拋物線方程聯(lián)立，運用判別式和韋達定理，考查兩直線垂直的條件和中點坐標公式的運用，屬于中檔題．