【題目】已知為橢圓上的一點，F為橢圓的右焦點，且垂直于x軸，不過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，線段的中點M在直線上.

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）當(dāng)的面積最大時，求直線的方程.

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據(jù)題意計算得到，，得到橢圓方程.

（2）設(shè)，，設(shè)直線，代入橢圓的方程得到，，計算，設(shè)，求導(dǎo)得到最值.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由題知，解得，.

所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）因為不過原點O的直線交橢圓于A，B兩點，線段的中點M在直線上，所以直線的斜率存在且不為0.

設(shè)，，則.

設(shè)直線，代入橢圓的方程整理得（*），

則，，故.

又，所以.

將k的值代入（*）式即得，故，，

且，即或.

，

點到直線的距離為，所以.

令，或，求導(dǎo)得.

令，解得.

當(dāng)時，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，時，，函數(shù)為減函數(shù)，所以當(dāng)時，的面積取得最大值.

綜上，當(dāng)的面積取得最大值時，直線的方程為，即.

練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給定個不同的數(shù)、、、、，它的某一個排列的前項和為，該排列中滿足的的最大值為．記這個不同數(shù)的所有排列對應(yīng)的之和為．

（1）若，求；

（2）若，.

①證明：對任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

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【題目】2019年，河南省鄭州市的房價依舊是鄭州市民關(guān)心的話題．總體來說，二手房房價有所下降，相比二手房而言，新房市場依然強勁，價格持續(xù)升高．已知銷售人員主要靠售房提成領(lǐng)取工資．現(xiàn)統(tǒng)計鄭州市某新房銷售人員一年的工資情況的結(jié)果如圖所示，若近幾年來該銷售人員每年的工資總體情況基本穩(wěn)定，則下列說法正確的是（ ）

A.月工資增長率最高的為8月份

B.該銷售人員一年有6個月的工資超過4000元

C.由此圖可以估計，該銷售人員2020年6，7，8月的平均工資將會超過5000元

D.該銷售人員這一年中的最低月工資為1900元

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，以原點為極點，軸非負(fù)半軸為極軸，長度單位相同，建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，直線過點傾斜角為.

（1）將曲線的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，并寫出直線的參數(shù)方程；

（2）當(dāng)時，直線交曲線于，兩點，求.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某總公司在A，B兩地分別有甲、乙兩個下屬公司同種新能源產(chǎn)品（這兩個公司每天都固定生產(chǎn)50件產(chǎn)品），所生產(chǎn)的產(chǎn)品均在本地銷售.產(chǎn)品進(jìn)人市場之前需要對產(chǎn)品進(jìn)行性能檢測，得分低于80分的定為次品，需要返廠再加工；得分不低于80分的定為正品，可以進(jìn)人市場.檢測員統(tǒng)計了甲、乙兩個下屬公司100天的生產(chǎn)情況及每件產(chǎn)品盈利虧損情況，數(shù)據(jù)如表所示：

表1

甲公司

得分

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

件數(shù)

10

10

40

40

50

天數(shù)

10

10

10

10

80

表2

甲公司

得分

[50，60）

[60，70）

[70，80）

[80，90）

[90，100]

件數(shù)

10

5

40

45

50

天數(shù)

20

10

20

10

70

表3

每件正品

每件次品

甲公司

盈2萬元

虧3萬元

乙公司

盈3萬元

虧3.5萬元

（1）分別求甲、乙兩個公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的正品率（用百分?jǐn)?shù)表示）.

（2）試問甲、乙兩個公司這100天生產(chǎn)的產(chǎn)品的總利潤哪個更大？說明理由.

（3）若以甲公司這100天中每天產(chǎn)品利潤總和對應(yīng)的頻率作為概率，從甲公司這100天隨機抽取1天，記這天產(chǎn)品利潤總和為X，求X的分布列及其數(shù)學(xué)期望.

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【題目】圖1是矩形，，，M為的中點，將沿翻折，得到四棱錐，如圖2．

（Ⅰ）若點N為的中點，求證：平面；

（Ⅱ）若．求點A到平面的距離．

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【題目】如圖，在四邊形中，，以為折痕把折起，使點到達(dá)點的位置，且.

（1）證明：平面；

（2）若為的中點，二面角等于60°，求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】某校周五的課程表設(shè)計中，要求安排8節(jié)課（上午4節(jié)下午4節(jié)），分別安排語文數(shù)學(xué)英語物理化學(xué)生物政治歷史各一節(jié)，其中生物只能安排在第一節(jié)或最后一節(jié)，數(shù)學(xué)和英語在安排時必須相鄰（注：上午的最后一節(jié)與下午的第一節(jié)不記作相鄰），則周五的課程順序的編排方法共有（ ）．

A.4800種B.2400種C.1200種D.240種

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【題目】數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美寓意美好的曲線，曲線就是其中之一（如圖）．給出下列三個結(jié)論：

①曲線恰好經(jīng)過6個整點（即橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）；

②曲線上存在到原點的距離超過的點；

③曲線所圍成的“心形”區(qū)域的面積小于3．

其中，所有錯誤結(jié)論的序號是______．

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