Question

15．當x＞3時，不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （-∞，3]
• B． [3，+∞）
• C． [$\frac{7}{2}$，+∞）
• D． （-∞，$\frac{7}{2}$]

Answer 1

分析 根據(jù)x＞3，得到x-1＞2，利用基本不等式可得y=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1，換元函數(shù)得出y=t+$\frac{1}{t}$+1，t∈（2，+∞），利用對勾函數(shù)的單調性求解最小值，解決恒成立即可．

解答 解：解：∵x＞3
∴x-1＞2，
∴y=（x-1）+$\frac{1}{x-1}$+1，
設t=x-1，t＞2
y=t+$\frac{1}{t}$+1，在t∈（2，+∞）上單調遞增，
∴y＞2$+\frac{1}{2}+1$=$\frac{7}{2}$，
∵不等式x+$\frac{1}{x-1}$≥a恒成立，
∴$a≤\frac{7}{2}$，
a的取值范圍是（-∞，$\frac{7}{2}$]，
故選：D．

點評 本題以分式不等式為例，考查了函數(shù)恒成立的知識，屬于中檔題．注意利用對勾函數(shù)的單調性求解最小值，解決恒成立即可，不符合基本不等的條件．