Question

已知函數(shù)f（x）=lnx+x²-ax，a∈R．
（Ⅰ）當a=3時，求f（x）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）若x＞1，f（x）＞0，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：函數(shù)的性質及應用

分析：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間與極值，先求導數(shù)，令導數(shù)大于0，解得x的范圍為函數(shù)的增區(qū)間，令導數(shù)小于0，解得x的范圍為函數(shù)的減區(qū)間．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1時恒成立，令g（x）=

lnx+x2

x

，求g（x）的范圍，再約束a的范圍．

解答： 解：（1）解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．
f′（x）=

1

x

+2x-3=

2x2-3x+1

x

，
當0＜x＜

1

2

或x＞1時，f′（x）＞0，
當

1

2

＜x＜1時，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增函數(shù)，在（

1

2

，1）上是減函數(shù)，
∴（0，

1

2

）和（1，+∞）上是增區(qū)間，（

1

2

，1）上是減區(qū)間．
（2）由f（x）＞0，得a＜

lnx+x2

x

在x＞1時恒成立，
令g（x）=

lnx+x2

x

，則g′(x)=

1+x2-lnx

x2

，
令h（x）=1+x²-lnx，則h′(x)=2x-

1

x

=

2x2-1

x

＞0，
∴h（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，h（x）＞h（1）=2＞0，
∴g′（x）＞0，∴g（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，
∴g（x）＞g（1）=1，所以a≤1，即實數(shù)a的取值范圍為（-∞，1]．

點評：本題主要考查了導數(shù)的應用，函數(shù)的導數(shù)與函數(shù)的單調性的關系的應用及恒成立與函數(shù)的最值求解的相互轉化關系的應用．