Question

12．已知頂點在原點，準線為x=-1的拋物線的焦點與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點F相同，點A，B是兩曲線的交點，若$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$，則雙曲線的實軸為（　�。�

• A． 2$\sqrt{5}$-2
• B． 2
• C． 2$\sqrt{3}$-2
• D． 2$\sqrt{2}$-2

Answer 1

分析 由題意可得拋物線的方程為y²=4x，焦點為F（1，0），可得c=1，即a²+b²=1，（a＜1），由向量的加減運算和垂直的條件，可得A，F(xiàn)，B共線，求得A（1，2）代入雙曲線的方程，解得a，即可得到雙曲線的實軸長2a．

解答 解：由題意可得拋物線的方程為y²=4x，焦點為F（1，0），
可得c=1，即a²+b²=1，（a＜1），
又$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{BF}$+$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AF}$=$\overrightarrow{OB}•\overrightarrow{AB}$，
可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{BF}$=$\overrightarrow{OB}$•（$\overrightarrow{AB}$-$\overrightarrow{AF}$）=$\overrightarrow{OB}$•$\overrightarrow{FB}$，
即為（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$）•$\overrightarrow{BF}$=0，
由A，B關于x軸對稱，可得BF⊥x軸，
即A，F(xiàn)，B共線，可得A（1，2），B（1，-2），
即有$\frac{1}{{a}^{2}}$-$\frac{4}{^{2}}$=1，
即為1-a²-4a²=a²（1-a²），
即a⁴-6a²+1=0，解得a=$\sqrt{2}$-1．
可得雙曲線的實軸為2$\sqrt{2}$-2．
故選：D．

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，考查拋物線的方程及焦點，同時考查向量共線的定理的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．