Question

19．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且f（-3）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）-xf′（x）＞0成立，則不等式f（x）＞0的解集是（　�。�

• A． （-∞，-3）∪（0，3）
• B． （-∞，-3）∪（3，+∞）
• C． （-3，0）∪（0，3）
• D． （-3，0）∪（3，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式f（x）＞0轉(zhuǎn)化為g（x）＞0或g（x）＜0進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，
則g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
∵當(dāng)x＞0時(shí)，有f（x）-xf′（x）＞0成立，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，有xf′（x）-f（x）＜0成立，即此時(shí)g′（x）＜0，函數(shù)g（x）為減函數(shù)，
∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)且f（-3）=0，
∴f（3）=0，且g（x）是偶函數(shù)，g（3）=g（-3）=0
當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0等價(jià)為g（x）＞0，即g（x）＞g（3），得0＜x＜3，
當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＞0等價(jià)為g（x）＜0，即g（x）＜g（-3），
此時(shí)函數(shù)g（x）增函數(shù)，得x＜-3，
綜上不等式f（x）＞0的解集是（-∞，-3）∪（0，3），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查不等式的求解，根據(jù)條件構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的關(guān)系將不等式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)．