【題目】如圖,在三棱柱中,底面,,,分別是棱,的中點(diǎn),為棱上的一點(diǎn),且//平面.
(1)求的值;
(2)求證:;
(3)求二面角的余弦值.
【答案】(1);(2)詳見解析;(3)二面角的余弦值為.
【解析】
試題分析:(1)求的值,關(guān)鍵是找在的位置,注意到平面,有線面平行的性質(zhì),可得,由已知為中點(diǎn),由平面幾何知識可得為中點(diǎn),從而可得的值;(2)求證:,有圖觀察,用傳統(tǒng)方法比較麻煩,而本題由于底面,所以,,又,這樣建立空間坐標(biāo)比較簡單,故以為原點(diǎn),以分別為軸,建立空間直角坐標(biāo)系,取,可寫出個點(diǎn)坐標(biāo),從而得向量的坐標(biāo),證即可;(3)求二面角的余弦值,由題意可得向量是平面的一個法向量,只需求出平面的一個法向量,可設(shè)平面的法向量,利用,即可求出平面的一個法向量,利用向量的夾角公式即可求出二面角的余弦值.
(1)因?yàn)?/span>平面
又平面,平面平面,
所以. 3分
因?yàn)?/span>為中點(diǎn),且側(cè)面為平行四邊形
所以為中點(diǎn),所以. 4分
(2)因?yàn)?/span>底面,
所以,, 5分
又,
如圖,以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則由可得 6分
因?yàn)?/span>分別是的中點(diǎn),
所以. 7分
. 8分
所以,
所以. 9分
(3)設(shè)平面的法向量,則
即 10分
令,則,所以. 11分
由已知可得平面的法向量 11分
所以 13分
由題意知二面角為鈍角,
所以二面角的余弦值為. 14分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,三棱柱中,已知側(cè)面.
(1)求證: 平面;
(2)是棱長上的一點(diǎn),若二面角的正弦值為,求的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù).
(1)若當(dāng)時,函數(shù)的圖象恒在直線上方,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)求證:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)當(dāng)時,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若對于任意都有成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)S是實(shí)數(shù)集R的非空子集,若對任意x,y∈S,都有x+y,x-y,xy∈S,則稱S為封閉集.下列命題:①集合S={a+b|a,b為整數(shù)}為封閉集;②若S為封閉集,則一定有0∈S;③封閉集一定是無限集;④若S為封閉集,則滿足STR的任意集合T也是封閉集.其中真命題是________.(寫出所有真命題的序號)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(Ⅰ)若,求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)證明當(dāng)時, ;
(Ⅲ)若關(guān)于的不等式恒成立,求整數(shù)的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)是定義在上的偶函數(shù), ,都有,且當(dāng)時, ,若函數(shù)()在區(qū)間內(nèi)恰有三個不同零點(diǎn),則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】據(jù)中國日報(bào)網(wǎng)報(bào)道:2017年11月13日,TOP500發(fā)布的最新一期全球超級計(jì)算機(jī)500強(qiáng)榜單顯示,中國超算在前五名中占據(jù)兩席,其中超算全球第一“神威太湖之光”完全使用了國產(chǎn)品牌處理器。為了了解國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度,某調(diào)查公司對兩種國產(chǎn)品牌處理器進(jìn)行了12次測試,結(jié)果如下(數(shù)值越小,速度越快,單位是MIPS)
測試1 | 測試2 | 測試3 | 測試4 | 測試5 | 測試6 | 測試7 | 測試8 | 測試9 | 測試10 | 測試11 | 測試12 | |
品牌A | 3 | 6 | 9 | 10 | 4 | 1 | 12 | 17 | 4 | 6 | 6 | 14 |
品牌B | 2 | 8 | 5 | 4 | 2 | 5 | 8 | 15 | 5 | 12 | 10 | 21 |
(Ⅰ)從品牌A的12次測試中,隨機(jī)抽取一次,求測試結(jié)果小于7的概率;
(Ⅱ)從12次測試中,隨機(jī)抽取三次,記X為品牌A的測試結(jié)果大于品牌B的測試結(jié)果的次數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X);
(Ⅲ)經(jīng)過了解,前6次測試是打開含有文字和表格的文件,后6次測試是打開含有文字和圖片的文件.請你依據(jù)表中數(shù)據(jù),運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識,對這兩種國產(chǎn)品牌處理器打開文件的速度進(jìn)行評價.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知表1和表2是某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表:
表1:某年部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
1月1日 | 7:36 | 4月9日 | 5:46 | 7月9日 | 4:53 | 10月8日 | 6:17 |
1月21日 | 7:11 | 4月28日 | 5:19 | 7月27日 | 5:07 | 10月26日 | 6:36 |
2月10日 | 7:14 | 5月16日 | 4:59 | 8月14日 | 5:24 | 11月13日 | 6:56 |
3月2日 | 6:47 | 6月3日 | 4:47 | 9月2日 | 5:42 | 12月1日 | 7:16 |
3月22日 | 6:15 | 6月22日 | 4:46 | 9月20日 | 5:50 | 12月20日 | 7:31 |
表2:某年1月部分日期的天安門廣場升旗時刻表
日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 | 日期 | 升旗時刻 |
2月1日 | 7:23 | 2月11日 | 7:13 | 2月21日 | 6:59 |
2月3日 | 7:22 | 2月13日 | 7:11 | 2月23日 | 6:57 |
2月5日 | 7:20 | 2月15日 | 7:08 | 2月25日 | 6:55 |
2月7日 | 7:17 | 2月17日 | 7:05 | 2月27日 | 6:52 |
2月9日 | 7:15 | 2月19日 | 7:02 | 2月28日 | 6:49 |
(1)從表1的日期中隨機(jī)選出一天,試估計(jì)這一天的升旗時刻早于7:00的概率;
(2)甲、乙二人各自從表2的日期中隨機(jī)選擇一天觀看升旗,且兩人的選擇相互獨(dú)立,記為這兩人中觀看升旗的時刻早于7:00的人數(shù),求的 分布列和數(shù)學(xué)期望;
(3)將表1和表2的升旗時刻化為分?jǐn)?shù)后作為樣本數(shù)據(jù)(如7:31化為),記表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,表1和表2中所有升旗時刻對應(yīng)數(shù)據(jù)的方差為,判斷與的大小(只需寫出結(jié)論).
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