Question

5．已知點F（2，0），直線l：x=-2，P為平面上的動點，過P作直線l的垂線，垂足為點Q，且$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程；
（2）點D在x軸上，且在F點的右側(cè)，點P不在坐標原點，且|$\overrightarrow{FP}$|=|$\overrightarrow{FD}$|，直線m平行于PD，且和曲線C有且只有一個公共點E．
證明直線PE過定點，并求出定點坐標．

Answer 1

分析 （1）設(shè)P的坐標為（x，y），則Q（-2，y），根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算公式，化簡等式$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，即可得到動點P的軌跡C的方程為y²=8x；
（2）求出k_PD=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，直線與拋物線的另一個交點坐標處切線的斜率，證明相等即可．

解答 （1）解：設(shè)P的坐標為（x，y），則Q（-2，y），可得$\overrightarrow{QP}$=（x+2，0），$\overrightarrow{QF}$=（4，-y），$\overrightarrow{FP}$=（x-2，y），$\overrightarrow{FQ}$=（-4，y），
∵$\overrightarrow{QP}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{FP}•\overrightarrow{FQ}$，
∴（x+2）•4=（x-2）（-4）+y²，化簡得y²=8x，
即動點P的軌跡C的方程為y²=8x．
（2）證明：不妨設(shè)P（x₀，y₀），則D（x₀+4，0），∴k_PD=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，
直線PF的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-2}$（x-2），與y²=8x聯(lián)立可得（x-x₀）（x₀x-4））=0，
∴x=x₀或x=$\frac{4}{{x}_{0}}$，
即直線與拋物線的另一個交點坐標為（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$）
由y=-$\sqrt{8x}$，可得y′=-$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x}}$，
∴拋物線在（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$）處切線的斜率為-$\frac{\sqrt{2{x}_{0}}}{2}$=-$\frac{{y}_{0}}{4}$，
∴E（$\frac{4}{{x}_{0}}$，-$\sqrt{\frac{32}{{x}_{0}}}$），直線PE過定點F（1，0）．

點評 本題著重考查了動點軌跡的求法、直線與拋物線的位置關(guān)系和向量數(shù)量積運算等知識，同時考查了邏輯思維能力、計算能力和轉(zhuǎn)化化歸的數(shù)學思想等知識，屬于中檔題．