Question

20．在平面直角坐標系x0y中，動點A的坐標為（2+$\sqrt{2}$cosα，$\sqrt{2}$sinα-1），其中α∈R．在極坐標系（以原點O為極點，以x軸非負半軸為極軸）中，直線C的方程為ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$a．
（Ⅰ）判斷動點A的軌跡的形狀；
（Ⅱ）若直線C與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，求實數(shù)a的值．

Answer 1

分析 （1）令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=$\sqrt{2}$sinα-1，消去參數(shù)α，得到點A的軌跡方程，判斷A的軌跡；
（2）將直線C的極坐標方程化為普通方程，根據(jù)公共點個數(shù)判斷出直線與圓相切，列出方程解出a．

解答 解：（1）令x=2+$\sqrt{2}$cosα，y=$\sqrt{2}$sinα-1，則cosα=$\frac{x-2}{\sqrt{2}}$，sinα=$\frac{y+1}{\sqrt{2}}$，
∴$\frac{（x-2）^{2}}{2}$+$\frac{（y+1）^{2}}{2}$=1，即（x-2）²+（y+1）²=2．
∴A的軌跡是以（2，-1）為圓心，以$\sqrt{2}$為半徑的圓．
（2）∵ρcos（θ-$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$a，∴$\frac{\sqrt{2}}{2}ρcosθ$+$\frac{\sqrt{2}}{2}ρsinθ$=$\sqrt{2}a$，即ρcosθ+ρsinθ-2a=0．
∴直線C的普通方程為x+y-2a=0．
∵直線C與動點A的軌跡有且僅有一個公共點，
∴$\frac{|2-1-2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，解得a=-$\frac{1}{2}$或a=$\frac{3}{2}$．

點評 本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程化普通方程，屬于基礎題．