Question

17．在△ABC中，∠BAD=30°，AB=4，AC=2，點D在BC上，且BC=2BD
（1）求BC的長；
（2）求tan（B+60°）的值．

Answer 1

分析 （1）由題意可得D為BC中點，延長AD至E使DE=AD，連接BE、CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，可得BE=AC=2，由正弦定理可得∠AEB=90°，再由勾股定理和余弦定理可得；
（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB，進而由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得tanB，由兩角和的正切公式可得．

解答 解：（1）由題意可得D為BC中點，延長AD至E使DE=AD，
連接BE、CE，則四邊形ABEC為平行四邊形，BE=AC=2，
在△ABE中，由正弦定理可得sin∠AEB=$\frac{ABsin30°}{BE}$=1，
∴∠AEB=90°，由勾股定理可得AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴在△ABD中由余弦定理可得BD²=4²+（$\sqrt{3}$）²-2×4×$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=7，
∴BC=BD=2$\sqrt{7}$；
（2）在△ABD中由余弦定理可得cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{D}^{2}-A{D}^{2}}{2•AB•BD}$=$\frac{5\sqrt{7}}{14}$，
由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得tanB=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，
∴tan（B+60°）=$\frac{tanB+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}tanB}$=3$\sqrt{3}$．

點評 本題考查兩角和與差的正切函數(shù)，涉及正余弦的應(yīng)用，屬中檔題．