Question

16．已知點(diǎn)F為拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)，其到直線x=-$\frac{P}{2}$的距離為2．
（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若點(diǎn)P在第一象限，且橫坐標(biāo)為4，過(guò)點(diǎn)F作直線PF的垂線交直線x=-$\frac{P}{2}$于點(diǎn)Q，證明：直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)．

Answer 1

分析 （1）由題意，p=2，可得拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求出直線PQ的方程與拋物線方程聯(lián)立，即可證明結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，p=2，
∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y²=4x；
（2）由題意，P（4，4），F(xiàn)（1，0），∴k_PF=$\frac{4}{3}$，
∴k_QF=-$\frac{3}{4}$，
∴直線QF的方程為y=-$\frac{3}{4}$（x-1），
令x=-1，則y=$\frac{3}{2}$，
∴直線PQ的方程為y-4=$\frac{4-\frac{3}{2}}{4+1}$（x-4），即x=2y-4，
代入y²=4x，可得y²-8y+16=0，∴y=4，
∴直線PQ與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)P．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，正確求出直線、拋物線方程是關(guān)鍵．