Question

某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，其關(guān)系為圖（1）；B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系為圖（2），（利潤(rùn)與投資單位均為萬(wàn)元）．現(xiàn)將9萬(wàn)元資金投入生產(chǎn)A，B兩種商品，設(shè)投入A的資金為x萬(wàn)元，獲得的總利潤(rùn)為y（萬(wàn)元）
（1）用x表示y，并指出函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）如何分配9萬(wàn)元投入資金，才能使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)？

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由于A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資成正比，可設(shè)y₁=k₁•x，從圖1可以得到當(dāng)x=1時(shí)，y₁=0.25，從而可以得到k₁，B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的算術(shù)平方根成正比，可設(shè)y₂=k₂•

x

，當(dāng)x=4時(shí)，y₂=2.5，從而可得到k₂即可用x表示y，并指出函數(shù)y=f（x）的定義域；
（2）換元，結(jié)合配方法，即可求得結(jié)論．．

解答： 解：（1）由圖可求得A產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的關(guān)系式為y=

1

4

x
B產(chǎn)品的利潤(rùn)與投資的關(guān)系式為y=

5

4

x

，
∴y=f(x)=

1

4

x+

5

4

9-x

（0≤x≤9），函數(shù)的定義域?yàn)閇0，9]…（6分）
（2）令

9-x

=t，則t∈[0，3]，x=9-t²∴f(x)=

1

4

(9-t2)+

5

4

t=-

1

4

t2+

5

4

t+

9

4

∴當(dāng)t=

5

2

，即x=2.75 時(shí)，f(x)取得最大值，此時(shí)9-x=6.25
答：將這9萬(wàn)元資金投入2.75萬(wàn)元生產(chǎn)A產(chǎn)品，6.25萬(wàn)元生產(chǎn)B產(chǎn)品，可使企業(yè)獲得最大利潤(rùn)．    …（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，單峰函數(shù)極值就是最值，屬于中檔題．