Question

已知三棱錐P-ABC中，PA=PB，CB⊥平面PAB，PM=MC，AN=3NB．
（1）求證明：MN⊥AB；
（2）當(dāng)∠APB=90°，BC=2，AB=4時(shí)，求MN的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：證明直線與直線垂直可將其中一條直線放到平面內(nèi)，平面的選擇可借助題目中已知的一些垂直關(guān)系取尋找，有中點(diǎn)的問(wèn)題可利用中位線性質(zhì)解決

解答： （1）證明：如圖：

取AB，AC的中點(diǎn)分別為D、E，
取BD、EC的中點(diǎn)分別為N、F，
連接PD、PE、DE、MF、NF，
由PA=PB知PD⊥AB，D、E為直線AB，AC的中點(diǎn)，DE∥BC，而B(niǎo)C⊥平面PAB，
∴DE⊥AB，而PD∩DE=D，
∴AB⊥平面PDE，而NF∥DE，MF∥PE 知平面PDE∥平面MNF，
∴AB⊥平面MNF，MN?平面MNF，
∴MN⊥AB．
（2）解：由（1）以及BC=2可得GM=1，

取BP中點(diǎn)為G，則MG∥BC，又BC⊥面ABP，
∴MG⊥面ABP，
∴MG⊥GN，
GN=

1

2

PD=

1

4

AB=1，
∴MN=

GM2+GN2

=

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與直線的位置關(guān)系，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力．