Question

已知函數(shù)f（x）=

2x-1

2x+1

，
（1）證明函數(shù)f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）求函數(shù)f（x）的值域；
（3）令g（x）=

x

f(x)

，判定函數(shù)g（x）的奇偶性，并證明．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)的值域,函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）用定義法，先在定義域上任取兩個(gè)變量，且界定大小，再作差變形看符號(hào)．當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化一致時(shí)，為增函數(shù)；當(dāng)自變量變化與函數(shù)值變化相反時(shí)，為減函數(shù)．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；
（3）用函數(shù)奇偶性的定義進(jìn)行判斷．

解答： 解：（1）設(shè)x₁＜x₂∈R，f（x₁）-f（x₂）
=

2x1-1

2x1+1

-

2x2-1

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

∵x₁＜x₂，
∴2（2x1-2x2)＜0
∴f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）是R上的增函數(shù)；
（2）∵f（x）=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，
∵2^x＞0，
∴2^x+1＞1，
∴0＜

2

2x+1

＜2，
∴-1＜1-

2

2x+1

＜1，
f（x）的值域?yàn)椋?1，1）；
（3）因?yàn)間（x）=

x

f(x)

=

x(2x+1)

2x-1

，
所以g（x）的定義域是{x|x≠0}，
g（-x）=

-x(2x+1)

2x-1

=

x(2x+1)

2x-1

=g（x），
函數(shù)g（x）為偶函數(shù)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)奇偶性的判斷，一般用定義；還考查了證明函數(shù)的單調(diào)性，一般用定義和導(dǎo)數(shù)，用定義時(shí)，要注意變形到位，用導(dǎo)數(shù)時(shí)，要注意端點(diǎn)．