Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1-a}{2}$x²-（b+1）x（a為實(shí)常數(shù)，且a≠1），曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為1-$\frac{3}{2}$a．
（1）求實(shí)數(shù)b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f′（2）=1-$\frac{3}{2}$a，即可求得b=0：
（2）求出導(dǎo)數(shù)，并分解，對a討論，分$\frac{1}{2}$＜a＜1時，0＜a＜$\frac{1}{2}$時，a≤0時，a＞1時，a=$\frac{1}{2}$時，分別求得導(dǎo)數(shù)大于0和導(dǎo)數(shù)小于0的解集，即可得到所求單調(diào)區(qū)間．

解答 解：（1）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-（b+1），
f′（2）=1-$\frac{3}{2}$a，即$\frac{a}{2}$+2（1-a）-（b+1）=1-$\frac{3}{2}$a，
解得b=0；
（2）f′（x）=$\frac{a}{x}$+（1-a）x-1=$\frac{1-a}{x}$（x-1）（x-$\frac{a}{1-a}$），
①$\frac{a}{1-a}$＞1，即$\frac{1}{2}$＜a＜1，1-a＞0，f′（x）＞0解得x＞$\frac{a}{1-a}$或0＜x＜1，
f′（x）＜0解得1＜x＜$\frac{a}{1-a}$．
即有f（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞），減區(qū)間為（1，$\frac{a}{1-a}$）；
②$\frac{a}{1-a}$＜1，即a＜$\frac{1}{2}$或a＞1，
（ⅰ）0＜a＜$\frac{1}{2}$，則1-a＞0，0＜$\frac{a}{1-a}$＜1，
f′（x）＞0，即有x＞1，或0＜x＜$\frac{a}{1-a}$，f′（x）＜0解得$\frac{a}{1-a}$＜x＜1；
即有f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{a}{1-a}$）（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{a}{1-a}$，1）；
（ⅱ）若a≤0，則1-a＞0，x-$\frac{a}{1-a}$≥x+0＞0，
f′（x）＞0，即有x＞1，f′（x）＜0，即有0＜x＜1，
則f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（0，1）；
（ⅲ）若a＞1，1-a＜0，則x-$\frac{a}{1-a}$＞x+0＞0，
f′（x）＞0，即有0＜x＜1，f′（x）＜0，即有x＞1，
則f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），f（x）的增區(qū)間為（0，1）；
③若$\frac{a}{1-a}$=1，則a=$\frac{1}{2}$，f′（x）=$\frac{1}{2x}$（x-1）²≥0，x=1取等號，
即有f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．
綜上可得，$\frac{1}{2}$＜a＜1時，f（x）的增區(qū)間為（0，1），（$\frac{a}{1-a}$，+∞），減區(qū)間為（1，$\frac{a}{1-a}$）；
0＜a＜$\frac{1}{2}$時，f（x）的增區(qū)間為（0，$\frac{a}{1-a}$）（1，+∞），減區(qū)間為（$\frac{a}{1-a}$，1）；
a≤0時，f（x）的增區(qū)間為（1，+∞），f（x）的減區(qū)間為（0，1）；
a＞1時，f（x）的減區(qū)間為（1，+∞），f（x）的增區(qū)間為（0，1）；
a=$\frac{1}{2}$時，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間．

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和求單調(diào)區(qū)間，主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和分類討論的思想方法，屬于中檔題和易錯題．