Question

17．已知橢圓的焦點分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），離心率e=0.8．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）在橢圓上是否存在點P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0，若存在，求出坐標．

Answer 1

分析 （1）由題意可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．利用c=4，$\frac{c}{a}=0.8$，b²=a²-c²，解出即可．
（2）當點P取橢圓短軸的一個端點時，∠F₁PF₂取得最大值，而tan∠OPF₁=$\frac{4}{3}$＞1，可得∠F₁PF₂＞90°．因此在橢圓上是否存在點P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0．
設P（x₀，y₀），聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{25}+\frac{{y}_{0}^{2}}{9}=1}\\{{x}_{0}^{2}-16+{y}_{0}^{2}=0}\end{array}\right.$，解出即可．

解答 解：（1）由橢圓的焦點分別為F₁（-4，0），F(xiàn)₂（4，0），離心率e=0.8．
可設橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）．
則c=4，$\frac{c}{a}=0.8$，b²=a²-c²，
解得c=4，a=5，b=3．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{9}=1$．
（2）當點P取橢圓短軸的一個端點時，∠F₁PF₂取得最大值，
而tan∠OPF₁=$\frac{4}{3}$＞1，∴∠F₁PF₂＞90°．
因此在橢圓上存在點P，使$\overrightarrow{{F}_{1}P}$•$\overrightarrow{{F}_{2}P}$=0．
設P（x₀，y₀），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}_{0}^{2}}{25}+\frac{{y}_{0}^{2}}{9}=1}\\{{x}_{0}^{2}-16+{y}_{0}^{2}=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=±\frac{5\sqrt{7}}{4}}\\{{y}_{0}=±\frac{9}{4}}\end{array}\right.$，
∴P$（±\frac{5\sqrt{7}}{4}，±\frac{9}{4}）$．

點評 本題考查了橢圓的定義及其性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．