Question

8．如圖，梯形ABCD中，DC∥AB，AD=DC=CB=2，AB=4，矩形AEFC中，AE=$\sqrt{3}$，平面AEFC⊥平面ABCD，點G是線段EF的中點
（Ⅰ）求證：AG⊥平面BCG
（Ⅱ）求二面角D-GC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據線面垂直的判定定理證明AG⊥CG，即可證明AG⊥平面BCG
（Ⅱ）建立空間直角坐標系，利用向量法即可求二面角D-GC-B的余弦值．

解答 （Ⅰ）證明：在梯形ABCD中，因為AD=DC=CB=2，AB=4，所以∠ABC=60°，
由余弦定理求得AC=2$\sqrt{3}$，
從而∠ACB=90°，
即BC⊥AC，
又因為平面AEFC⊥平面ABCD，
所以BC⊥平面AEFC，
所以BC⊥AG，
在矩形AEFC中，tan∠AGE=$\frac{AE}{EG}=1$，
則∠AGE=$\frac{π}{4}$，
tan∠CGF=$\frac{CF}{GF}=1$，則∠CGF=$\frac{π}{4}$，
所以∠CGF+∠AGE=$\frac{π}{2}$，
即AG⊥CG，
所以AG⊥平面BCG；
（Ⅱ）FC⊥AC，平面AEFC⊥平面ABCD，
所以FC⊥平面ABCD，
以點C為原點，CA，CB，CF所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（2$\sqrt{3}$，0，0），B（0，2，0），D（$\sqrt{3}$，-1，0），G（$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
平面BCG的法向量$\overrightarrow{GA}$=（$\sqrt{3}$，0，-$\sqrt{3}$），
設平面GCD的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CG}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CD}=0}\end{array}\right.$，從而$\left\{\begin{array}{l}{x+z=0}\\{\sqrt{3}x-y=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=$\sqrt{3}$，z=-1，
則$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，-1），
所以cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{GA}$＞=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3+3}•\sqrt{1+3+1}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
而二面角D-GCB為鈍角，
故所求二面角的余弦值為-$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題主要考查空間線面垂直的判定，以及二面角的求解，利用向量法是解決二面角的常用方法．