12.已知拋物線y2=2x的準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為K,點(diǎn)A、B在拋物線上,若$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$,則AB的斜率為( 。
A.±$\frac{4}{5}$B.±$\frac{3}{4}$C.$\frac{4}{5}$D.$\frac{3}{4}$

分析 求出拋物線的準(zhǔn)線方程,可得K的坐標(biāo),可設(shè)A($\frac{{m}^{2}}{2}$,m),B($\frac{{n}^{2}}{2}$,n),運(yùn)用向量共線的坐標(biāo)表示,解方程可得m,n,再由直線的斜率公式,計(jì)算即可得到所求值.

解答 解:拋物線y2=2x的準(zhǔn)線l為x=-$\frac{1}{2}$,
即有K(-$\frac{1}{2}$,0),
由A,B在拋物線上,可設(shè)A($\frac{{m}^{2}}{2}$,m),B($\frac{{n}^{2}}{2}$,n),
由$\overrightarrow{AB}$=3$\overrightarrow{KA}$,可得$\frac{{n}^{2}}{2}$-$\frac{{m}^{2}}{2}$=3($\frac{{m}^{2}}{2}$+$\frac{1}{2}$),
且n-m=3(m-0),
解得m=$\frac{1}{2}$,n=2或m=-$\frac{1}{2}$,n=-2,
即有直線AB的斜率為k=$\frac{n-m}{\frac{{n}^{2}}{2}-\frac{{m}^{2}}{2}}$=$\frac{2}{m+n}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}+2}$=$\frac{4}{5}$
或$\frac{2}{-\frac{1}{2}-2}$=-$\frac{4}{5}$.
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程及運(yùn)用,考查向量共線的坐標(biāo)表示,以及直線的斜率公式的運(yùn)用,考查運(yùn)算能力,屬于中檔題.

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