Question

2．如圖，某人打算做一個(gè)正四棱錐形的金字塔模型，先用木料搭邊框，再用其他材料填充．已知金字塔的每一條棱和邊都相等
（1）求證：直線AC垂直于直線SD．
（2）若搭邊框共使用木料24米，則需要多少立方米的填充材料才能將整個(gè)金字塔內(nèi)部填滿？

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AC，BD，由正方形的性質(zhì)得出AC⊥BD，由等腰三角形三線合一得出AC⊥SO，故而AC⊥平面SBD，于是AC⊥SD；
（2）正四棱錐的棱長為3，計(jì)算棱錐的高和底面積，代入體積公式計(jì)算四棱錐的體積．

解答 解：（1）連接AC，BD交于點(diǎn)O，則O為線段BD中點(diǎn)，
∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD．
在△SBD中，∵SA=SC，∴SO⊥AC，
∵SO∩BD=O，SO?平面SBD，BD?平面SBD，
∴AC⊥平面SBD，∵SD?平面SBD，
∴AC⊥SD
（2）由題意得正四棱錐邊長為3米．
∴BO=$\frac{1}{2}BD$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
棱錐的高SO=$\sqrt{S{B}^{2}-O{B}^{2}}$=$\sqrt{9-（\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
∴$V=\frac{1}{3}•{3^2}•\frac{{3\sqrt{2}}}{2}=\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$立方米．
答：需要$\frac{{9\sqrt{2}}}{2}$立方米填充材料．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．