Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a_na_n+1=2S_n，且a₁=1，則2×a₁+2²×a₂+…+2²⁰¹⁶×a₂₀₁₆=2+2²⁰¹⁷×2015．

Answer 1

分析 先由題意得到數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，即a_n=n，再利用錯(cuò)位相減法，求出前2016項(xiàng)的和．

解答 解：∵a_na_n+1=2S_n，
∴a_na_n-1=2S_n-1，
∴a_n（a_n+1-a_n-1）=2a_n，
∵a₁=1，
∴a_n+1-a_n-1=2，
∴a_n+1-a_n+（a_n-a_n-1）=2，
∴數(shù)列{a_n}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=n，
當(dāng)n=1時(shí)，滿足，
設(shè)T₂₀₁₆=2×a₁+2²×a₂+…+2²⁰¹⁶×a₂₀₁₆=2×1+2²×2+…+2²⁰¹⁶×2016，
∴2T₂₀₁₆=2²×1+2³×2+…+2²⁰¹⁶×2015+2²⁰¹⁷×2016，
∴-T₂₀₁₆=2+2²+2³+…+2²⁰¹⁶-2²⁰¹⁷×2016=$\frac{2（1-{2}^{2016}）}{1-2}$-2²⁰¹⁷×2016=2²⁰¹⁷-2-2²⁰¹⁷×2016=-2-2²⁰¹⁷×2015
∴T₂₀₁₆=2+2²⁰¹⁷×2015
故答案為：2+2²⁰¹⁷×2015

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，以及錯(cuò)位相減法求和，注意解題方法的積累，屬于中檔題．