Question

6．如圖，△ABC的三個頂點坐標分別為A（-6，0），B（2，0），C（0，6），D，E分別是高CO的兩個三等分點，過D，作直線FG∥AC，分別交AB和BC于G，F，連接EF．
（1）求過E，G，F三點的圓M的方程；
（2）在線段AC上是否存在點H，使得過點H存在和圓M相切的直線，并且若過點H存在兩條切線時，則點H和兩切點P，Q組成的∠PHQ≥90°？若存在，求出H點對應軌跡的長度；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析 （1）判斷EG是△EFG的斜邊，即可求出過E，G，F三點的圓M的方程；
（2）點在圓M外時，過點H存在兩條切線，由點H和兩切點P，Q組成的∠PHQ≥90°，得直角△HPM的一個銳角∠PHM≥45°，于是HM≤$\sqrt{2}$PM=$\sqrt{2}$r，即HM≤$\sqrt{10}$．設H（x，x+6）（-6≤x≤0），確定H的橫坐標的范圍，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意，G（-2，0），E（0，4），F（1，3），
∴EF=$\sqrt{2}$，EG=$\sqrt{20}$，FG=$\sqrt{18}$，
∴EF²+FG²=EG²，
∴EG是△EFG的斜邊，
∴過E，G，F三點的圓M的方程為（x+1）²+（y-2）²=5；
（2）假設線段AC上存在點H，則H在圓上或圓外．
點在圓M外時，過點H存在兩條切線，由點H和兩切點P，Q組成的∠PHQ≥90°，得直角△HPM的一個銳角∠PHM≥45°，于是HM≤$\sqrt{2}$PM=$\sqrt{2}$r，即HM≤$\sqrt{10}$．
∵H在線段AC：y=x+6（-6≤x≤0）上，
∴設H（x，x+6）（-6≤x≤0），
由HM²=（x+1）²+（x+6-2）²≤10，得$\frac{-5-\sqrt{11}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{11}}{2}$，滿足-6≤x≤0，
此時線段AC上滿足$\frac{-5-\sqrt{11}}{2}$≤x≤$\frac{-5+\sqrt{11}}{2}$的點對應的線段長度為$\frac{\sqrt{22}}{2}$；
∵圓心M（-1，2）到線段AC的距離d=$\frac{|-1-2+6|}{\sqrt{2}}$=$\frac{3}{\sqrt{2}}$，
∴直線AC被圓M截得的弦長為2$\sqrt{5-\frac{9}{2}}$=$\sqrt{2}$，
∴H點對應軌跡的長度為$\frac{\sqrt{22}}{2}$-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查點到直線的距離公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．