Question

14．已知動點A在橢圓 C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）上，動點B在直線 x=-2上，且滿足 $\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$（O為坐標(biāo)原點），橢圓C上點 $M（\frac{{\sqrt{3}}}{2}，3）$到兩焦點距離之和為 4$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求橢圓C方程．
（Ⅱ）判斷直線AB與圓x²+y²=3的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，求出a，b，即可求橢圓C方程．
（Ⅱ）設(shè)出點A，B的坐標(biāo)分別為（x₀，y），（-2，t），直線AB的方程為（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0，由OA⊥OB得到t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$，然后由圓x²+y²=3的圓心到AB的距離和圓的半徑相等說明直線AB與圓x²+y²=3相切．

解答 解：（Ⅰ）由題意，$\left\{\begin{array}{l}{2a=4\sqrt{3}}\\{\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{3}{4^{2}}=1}\end{array}\right.$，
∴a=2$\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$，
∴橢圓C方程為$\frac{{y}^{2}}{12}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）直線AB與圓x²+y²=3相切，
證明如下：
設(shè)點A，B的坐標(biāo)分別為（x₀，y₀），（-2，t），直線AB的方程為（y₀-t）x-（x₀+2）y+（tx₀+2y₀）=0．
∵OA⊥OB，
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，即-2x₀+ty₀=0，解得t=$\frac{2{x}_{0}}{{y}_{0}}$．
圓心O到直線AB的距離d=$\frac{|t{x}_{0}+2{y}_{0}|}{\sqrt{（{y}_{0}-t）^{2}+（{x}_{0}+2）^{2}}}$=$\frac{6|4-{{x}_{0}}^{2}|}{\sqrt{12（{{x}_{0}}^{4}-8{{x}_{0}}^{2}+16）}}$=$\sqrt{3}$
∴直線AB與圓x²+y²=3相切．

點評 本題考查橢圓的簡單幾何性質(zhì)，考查了圓與圓錐曲線的綜合，訓(xùn)練了由圓心到直線的距離判斷直線和圓的位置關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．