Question

9．設(shè)[x]表示不超過(guò)實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，集合A={n|n=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]，1≤k≤2016，k∈N}，則A中元素的個(gè)數(shù)是1512．

Answer 1

分析 由$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}$，把1≤k≤2016，k∈N分為兩類，當(dāng)k=0，1，2，3，…，1007時(shí)，求出滿足條件的[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]的個(gè)數(shù)為503，當(dāng)k=1008，1009，…，2016時(shí)，求出滿足條件的[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]的個(gè)數(shù)為1009，則答案可求．

解答 解：∵當(dāng)k=0，1，2，3，…，1007時(shí)，
$\frac{（k+1）^{2}}{2015}-\frac{{k}^{2}}{2015}=\frac{2k+1}{2015}≤1$，
∴[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]，或[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]=[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]+1，
∵[$\frac{100{7}^{2}}{2015}$]=503，[$\frac{{1}^{2}}{2015}$]=0，
∴當(dāng)k=0，1，2，3，…，1007時(shí)，[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]能取0，1，2，3，…，503共504個(gè)數(shù)，
又當(dāng)k=1008，1009，…，2016時(shí)，
$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}＞1$，
∴[$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$]≥[$\frac{{k}^{2}}{2015}$]+1，
即[$\frac{100{8}^{2}}{2015}$]，[$\frac{100{9}^{2}}{2015}$]，…，[$\frac{201{6}^{2}}{2015}$]共有2016-1007=1009個(gè)不同的數(shù)．
∵[$\frac{100{8}^{2}}{2015}$]=504＞503=[$\frac{100{7}^{2}}{2015}$]．
∴A中元素的個(gè)數(shù)是1009+503=1512．
故答案為：1512．

點(diǎn)評(píng) 本題考查元素與集合間關(guān)系的判斷，注意對(duì)[x]定義的理解，借助于$\frac{（k+1）^{2}}{2015}$-$\frac{{k}^{2}}{2015}$=$\frac{2k+1}{2015}$分類求解，使繁雜的問(wèn)題變得相對(duì)簡(jiǎn)單，該題是中檔題．