Question

2．如圖，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2$\sqrt{2}$，CD=2，AA₁=2，側棱AA₁⊥底面ABCD，E是A₁D上一點，且A₁E=2ED．
（1）求證：EO∥平面A₁ABB₁；
（2）求直線A₁B與平面A₁ACC₁所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）連結A₁B，利用△AOB∽△COD得出$\frac{OD}{OB}=\frac{1}{2}$，又$\frac{DE}{{A}_{1}E}=\frac{1}{2}$，故而OE∥A₁B，于是EO∥平面A₁ABB₁．
（2）過A₁作A₁F⊥B₁C₁于F，連結BF，則可證明A₁F⊥平面BB₁C₁C，于是∠A₁BF是直線A₁B與平面A₁ACC₁所成的角，求出A₁F和A₁B即可求出線面角的正弦值．

解答 證明：（1）連結A₁B，
∵AB∥CD，∴△AOB∽△COD，
∴$\frac{OD}{OB}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，
∵A₁E=2ED，∴$\frac{DE}{{A}_{1}E}=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{DO}{OB}=\frac{DE}{E{A}_{1}}$，∴OE∥A₁B，
又OE?平面A₁ABB₁，A₁B?平面A₁ABB₁，
∴EO∥平面A₁ABB₁．
（2）過C₁作C₁G⊥A₁B₁于G，則四邊形A₁D₁C₁G是矩形，
∴C₁G=A₁D₁=AD=2$\sqrt{2}$，A₁G=C₁D₁=2，∴B₁G=2，B₁C₁=2$\sqrt{3}$．
過A₁作A₁F⊥B₁C₁于F，連結BF，
∵BB₁⊥平面A₁B₁C₁D₁，AF?平面A₁B₁C₁D₁，
∴BB₁⊥AF，又BB₁∩B₁C₁=B₁，BB₁?平面BB₁C₁C，B₁C₁?平面BB₁C₁C，
∴A₁F⊥平面BB₁C₁C，
∴∠A₁BF是直線A₁B與平面A₁ACC₁所成的角．
∵S${\;}_{△{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}{A}_{1}{B}_{1}•{C}_{1}G$=$\frac{1}{2}{B}_{1}{C}_{1}•{A}_{1}F$，
∴A₁F=$\frac{{A}_{1}{B}_{1}•{C}_{1}G}{{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{4\sqrt{6}}{3}$．
∵A₁B=$\sqrt{{A}_{1}{{B}_{1}}^{2}+{B}_{1}{B}^{2}}$=2$\sqrt{5}$．
∴sin∠A₁BF=$\frac{{A}_{1}F}{{A}_{1}B}$=$\frac{2\sqrt{30}}{15}$．

點評 本題考查了線面平行的判定，線面角的計算，作出線面角是解題關鍵．