Question

17．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=a（0＜a≤1），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，（{a}_{n}＞1}）\\{-{a}_{n}+\frac{3}{2}，（{a}_{n}≤1}）\end{array}\right.$（n∈N^*）
①若a₃=$\frac{1}{6}$，則a=$\frac{1}{3}$；
②記S_n=a₁+a₂+…+a_n，則S₂₀₁₆=1512．

Answer 1

分析 ①由a₁=a（0＜a≤1），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，（{a}_{n}＞1}）\\{-{a}_{n}+\frac{3}{2}，（{a}_{n}≤1}）\end{array}\right.$（n∈N^*），可得a₂=-a+$\frac{3}{2}$．對a分類討論：當$\frac{1}{2}≤a≤1$時，當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，即可得出．
②a₁=a（0＜a≤1），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，（{a}_{n}＞1}）\\{-{a}_{n}+\frac{3}{2}，（{a}_{n}≤1}）\end{array}\right.$（n∈N^*），a₂=-a₁+$\frac{3}{2}$=-a+$\frac{3}{2}$．對a分類討論：當$\frac{1}{2}≤a≤1$時，可得：a_n+2=a_n．當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，可得a_n+4=a_n．即可得出．

解答 解：①∵a₁=a（0＜a≤1），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，（{a}_{n}＞1}）\\{-{a}_{n}+\frac{3}{2}，（{a}_{n}≤1}）\end{array}\right.$（n∈N^*），
∴a₂=-a₁+$\frac{3}{2}$=-a+$\frac{3}{2}$．
當$\frac{1}{2}≤a≤1$時，a₃=-a₂+$\frac{3}{2}$=a=$\frac{1}{6}$，舍去；
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，a₃=a₂-1=-a+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{6}$，解得a=$\frac{1}{3}$，滿足條件．
∴a=$\frac{1}{3}$．
②a₁=a（0＜a≤1），a_n+1=$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}-1，（{a}_{n}＞1}）\\{-{a}_{n}+\frac{3}{2}，（{a}_{n}≤1}）\end{array}\right.$（n∈N^*），
∴a₂=-a₁+$\frac{3}{2}$=-a+$\frac{3}{2}$．
當$\frac{1}{2}≤a≤1$時，a₃=-a₂+$\frac{3}{2}$=a，∴a₄=-a₂+$\frac{3}{2}$=$\frac{3}{2}$-a，∴a_n+2=a_n．
S₂₀₁₆=（a₁+a₂）×1008=1512．
當$0＜a＜\frac{1}{2}$時，a₃=a₂-1=-a+$\frac{3}{2}-1$=-a+$\frac{1}{2}$$＜\frac{1}{2}$，
∴a₄=-a₃+$\frac{3}{2}$=-$（-a+\frac{1}{2}）$+$\frac{3}{2}$=a+1＞1，∴a₅=a₄-1=a．
∴a_n+4=a_n．
∴S₂₀₁₆=（a₁+a₂+a₃+a₄）×504=3×504=1512．
綜上可得：S₂₀₁₆=1512．
故答案分別為：$\frac{1}{3}$；1512．

點評 本題考查了遞推關(guān)系、數(shù)列的周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．