Question

13．在△ABC中，若8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7．
（1）求角A的大小；
（2）如果a=$\sqrt{3}$，b+c=3，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用三角形內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式可得sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$，把8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7化為$8co{s}^{2}\frac{A}{2}-2cos2A=7$，進(jìn)一步化為關(guān)于cosA的一元二次方程，求得cosA，則角A的大小可求；
（2）由已知結(jié)合余弦定理求得bc，然后代入三角形的面積公式可得△ABC的面積．

解答 解：（1）在△ABC中，∵$\frac{B+C}{2}=\frac{π}{2}-\frac{A}{2}$，∴sin$\frac{B+C}{2}$=cos$\frac{A}{2}$，
∴8sin²$\frac{B+C}{2}$-2cos2A=7可化為$8co{s}^{2}\frac{A}{2}-2cos2A=7$，則4cosA+4-2（2cos²A-1）=7，
∴4cos²A-4cosA+1=0，解得cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0°＜A＜180°，∴A=60°；
（2）由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc，
且a=$\sqrt{3}$，b+c=3，得bc=2，
∴${S}_{△ABC}=\frac{1}{2}BC•sinA=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，訓(xùn)練了余弦定理在求解三角形中的應(yīng)用，是中檔題．