Question

6．向量$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{MN}$在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，若$\overrightarrow{MN}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{BC}$（λ，μ∈R），則$\frac{λ}{μ}$=2．

Answer 1

分析 可在圖中作出向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，根據(jù)圖形便可得出$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}，\overrightarrow{BC}=6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$，根據(jù)$\overrightarrow{MN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{BC}$進(jìn)行向量的數(shù)乘運(yùn)算便可得出$\overrightarrow{MN}=（λ+6μ）\overrightarrow{i}+（5λ-4μ）\overrightarrow{j}$，這樣根據(jù)平面向量基本定理即可得出關(guān)于λ，μ的二元一次方程組，解出λ，μ，從而便可求出$\frac{λ}{μ}$的值．

解答 解：如圖，作向量$\overrightarrow{i}，\overrightarrow{j}$，則：
$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}，\overrightarrow{BC}=6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{MN}=4\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}$；
∴$\overrightarrow{MN}=λ\overrightarrow{AB}+μ\overrightarrow{BC}$=$λ（\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{j}）+μ（6\overrightarrow{i}-4\overrightarrow{j}）$=$（λ+6μ）\overrightarrow{i}+（5λ-4μ）\overrightarrow{j}$；
∴根據(jù)平面向量基本定理得，$\left\{\begin{array}{l}{λ+6μ=4}\\{5λ-4μ=3}\end{array}\right.$；
解得$\left\{\begin{array}{l}{λ=1}\\{μ=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$；
∴$\frac{λ}{μ}=2$．
故答案為：2．

點(diǎn)評(píng) 考查向量加法的平行四邊形法則，向量數(shù)乘的幾何意義，以及向量的數(shù)乘運(yùn)算，平面向量基本定理．