Question

1．已知函數(shù)f（x）對(duì)任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1
（1）判斷并證明f（x）的單調(diào)性；
（2）若f（4）=3，解不等式f（3m²-m-2）＜2．

Answer 1

分析 （1）利用特殊值方法求出f（0）=1，和換元思想令a=x，b=-x，得出f（-x）=2-f（x），利用定義法判定函數(shù)的單調(diào)性；
（2）根據(jù)定義得出f（2）=2，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可．

解答 解：f（a+b）=f（a）+f（b）-1，
令a=b=0，
∴f（0）=f（0）+f（0）-1，
∴f（0）=1，
令a=x，b=-x，
∴f（0）=f（x）+f（-x）-1，
∴f（-x）=2-f（x），
令x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）=f（x₂）+f（-x₁）-1
=f（x₂）+2-f（x₁）-1＞1，
∴f（x₂）＞f（x₁），
故函數(shù)在R上單調(diào)遞增；
（2）f（4）=2f（2）-1=3，
∴f（2）=2，
∴f（3m²-m-2）＜f（2），
∴3m²-m-2＜2，
∴-1＜m＜$\frac{4}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 考查了抽象函數(shù)單調(diào)性的證明和利用單調(diào)性解題．屬于常規(guī)題型，應(yīng)熟練掌握．