Question

17．吉林市某中學利用周末組織教職員工進行了一次冬季戶外健身活動，有N人參加，現(xiàn)將所有參加人員按年齡情況分為[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50），[50，55）等七組，其頻率分布直方圖如圖所示．已知[35，40）之間的參加者有8人．
（Ⅰ）求N和[30，35）之間的參加者人數(shù)N₁；
（Ⅱ）已知[30，35）和[35，40）兩組各有2名數(shù)學教師，現(xiàn)從這兩個組中各選取2人擔任接待工作，設(shè)兩組的選擇互不影響，求兩組選出的人中都至少有1名數(shù)學教師的概率；
（Ⅲ）組織者從[45，55）之間的參加者（其中共有4名女教師，其余全為男教師）中隨機選取3名擔任后勤保障工作，其中女教師的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)頻率分布直方圖中7個組的頻率分別為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₄=0.04×5=0.2，從而$N=\frac{8}{0.2}=40$，由此能求出[30，35）之間的志愿者人數(shù)．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之間有40×0.3=12人，設(shè)從[30，35）之間取2人擔任接待工作，其中至少有1名數(shù)學教師的事件為事件B；從[35，40）之間取2人擔任接待工作其中至少有1名數(shù)學教師的事件為事件C，由此推導出女教師的數(shù)量為ξ的取值可為1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學期望Eξ．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)頻率分布直方圖中7個組的頻率分別為P₁，P₂，P₃，P₄，P₅，P₆，P₇，P₄=0.04×5=0.2，所以$N=\frac{8}{0.2}=40$…（2分）
由題意P₁+P₂+P₃+P₄+P₅+P₆+P₇=1，而P₃=1-（P₁+P₂+P₄+P₅+P₆+P₇）=1-5（0.01+0.03+0.04+0.03+0.02+0.01）=0.3
∴[30，35）之間的志愿者人數(shù)N₁=40×P₃=40×0.3=12人…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知[30，35）之間有40×0.3=12人
設(shè)從[30，35）之間取2人擔任接待工作，其中至少有1名數(shù)學教師的事件為事件B；
從[35，40）之間取2人擔任接待工作其中至少有1名數(shù)學教師的事件為事件C，
因為兩組的選擇互不影響，為相互獨立事件，
$P（B）=1-P（\overline B）=1-\frac{{C_{10}^2}}{{C_{12}^2}}=\frac{7}{22}$$P（C）=1-P（\overline C）=1-\frac{C_6^2}{C_8^2}=\frac{13}{28}$
所以$P（BC）=P（B）P（C）=\frac{13}{88}$…（6分）
[45，55）之間共有5×（0.01+0.02）×40=6人，其中4名女教師，2名男教師，
從中選取3人，則女教師的數(shù)量為ξ的取值可為1，2，3…（8分）
所以$P（ξ=1）=\frac{C_4^1C_2^2}{C_6^3}=\frac{1}{5}$；$P（ξ=2）=\frac{C_4^2C_2^1}{C_6^3}=\frac{3}{5}$；$P（ξ=3）=\frac{C_4^3C_2^0}{C_6^3}=\frac{1}{5}$…（10分）
所以分布列為

ξ	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{3}{5}$	$\frac{1}{5}$

ξ的數(shù)學期望為Eξ=2，…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意排列組合知識的合理運用．